الاحتمالات وميكانبكا الكم

 ◾بإستذكار التفسير الإحصائي للـدَّالة الموجيّة ساي Ψ (Statistical Interpretation of Wavefunction  Ψ) الذي قدمه الـفيزيائي وعالِـم الرياضيات الألـمانـي ماكس بورن (Max Born)، والذي يُخبرنا أنَّ مُربع القيمة المُطلقة لـقيمة ساي ²|(x,t)Ψ| تُعطينا الكثافة الإحتماليّة (Probability Density) لإيجاد الجسم عند الموضع x عند الزمن t، لا بُدَّ أنَّـك لاحظت أنَّ الإحتمالات تلعب دورًا كبيرًا في عالَم ميكانيكا الكم.

◾ولـذلك ليس من المعقول أن تخوض في عالَم الكم من غير معرفتك ولو مُقدمة صغيرة عن عالَم الإحتمالات!! 

◾ولذلك، تعال معي لـنبدأ رحلتنا في هذا العالَم الذي لا غِنى عنه في عالَم الكم :

◾تخيَّل معي لو أنَّ هُنالك غُرفة في إحدى مباني المدينة تحوي داخلها 16 شخص بأعمار مختلفة "منفصلة" مقسَّمة كـالتالي :

🔸3 أشخاص بـعُمر 14 عام.

🔸شخص بـعُمر 15 عام.

🔸3 أشخاص بـعُمر 16 عام.

🔸شخصين بـعُمر 22 عام.

🔸شخصين بـعُمر 24 عام.

🔸5 أشخاص بـعُمر 25 عام.

◾ولإختصار كل هذه الجُمَل، لـنتفق معًا على أن N(j) تُمثِّل عدد الأشخاص الذين أعمارهم تساوي j، أي أنَّ :

🔸N(14)=3

والتي تعني أن هنالك 3 أشخاص ذو عُمر 14 عام.

🔸N(15)=1

🔸N(16)=3

🔸N(22)=2

🔸N(24)=2

🔸N(25)=5

◾ولأتكد أنَّها واضحة، ماذا تساوي N(21) ؟؟ 

لا بُدَّ أنَّـك أجبت بـ "صفر" أي أنَّ بهذه الغرفة ليس هنالك أي شخص بـعُمر 21 عام. 

◾ماذا لو كانت لديك هذه المعلومات أعلاه (الأعمار وعدد الأشخاص بـعُمر معين)، أيُمكنك إخباري بعدد الأشخاص المتواجدين في الغرفة؟؟ 

نعم يُمكنك إخباري، وذلك من خلال جمع أعداد الأشخاص بإختلاف أعمارهم، أي ستقول لي "إن عدد الأشخاص المتواجدين في الغرفة يساوي 3+1+3+2+2+5=16 شخص". 

◾نعم هذا صحيح، ولـنُعبِّر عمّا قُلته رياضيًا :

▪️“Total number” of people in the room :

العدد الكُلي للأشخاص في الغرفة :

N=ΣN(j) 🔸🔸🔸1️⃣

أي أن العدد الكُلي للأشخاص المتواجدين في الغرفة N يساوي مجموع (Σ summation) أعداد الأشخاص الذين أعمارهم تساوي j أي N(j)، وعدَّاد المجموع Σ لنتفق على أنَّه يبدأ من صفر إلى المالانهاية.

◾والآن تخيَّل معي لو أنَّك أردت أن تلعب مع هؤلاء الأشخاص، فـطلب منك أحدهم أن تُغمِض عيناك وتبدأ بالدوران لعدة ثواني ثم تتوقف وتقوم بالإشارة لأحدهم، ما "إحتماليّة" أن يقع إختيارك على شخص عُمره 14 عام؟؟

بإستذكار أنَّ هُنالك فقط 3 أشخاص بـعُمر 14 عام بين 16 شخص متواجدين في الغرفة، فإن إحتماليّة أن يقع إختيارك على شخص عُمره 14 تساوي 3 أشخاص (3) من الـ(16) شخص، ومثلا إحتماليّة أن يقع إختيارك على شخص عُمره 15 هو (1) من (16) شخص، وإحتماليّة أن يقع إختيارك على شخص عُمره 16 هو (3) من (16) شخص، وهكذا...

◾بالـتَّعبير الرِّياضي :

▪️“Probability” of getting age (j) :

إحتماليّة حصولك على العُمر (j) :

P(j)=N(j)/N 🔸🔸🔸2️⃣

أي أنَّ إحتماليّة P أن يقع إختيارك على شخص عُمره j تساوي عدد الأشخاص الذين أعمارهم j أي N(j) على العدد الكُلي للأشخاص N.

▪️والآن ما هو مجموع هذه الإحتمالات؟؟

ΣP(j)=ΣN(j)/N

ΣP(j)=(1/N)ΣN(j)

قمنا بإخراج (1/N) لأنَّ المجموع يعتمد فقط على تغيير قيمة العُمر j وبالتالي العدد الكُلي لا يعتمد على العُمر (((لو أخبرتك أن هنالك 5 أشخاص في سيارة، شخصين منهم بـعُمر سنتين، وبعد دقيقة صححت هذه المعلومة وأخبرتك أن أعمارهم سنة وليس سنتين، أسيتغير عدد الأشخاص الكُلي في السيارة؟؟ لا)))

بالعودة للعلاقة الأخيرة، نجد أن ΣN(j) يساوي N من العلاقة 1️⃣، وبالتالي يُصبح لدينا :

ΣP(j)=(1/N)(N)

ΣP(j)=1 🔸🔸🔸3️⃣

أي أنَّ الإحتماليّة الكُليّة تساوي واحد، أي أنَّـك لو اخترت أي شخص من هذه الغرفة، لا بُدَّ أن يكون له عُمر!

◾والآن بعد إنتهاء هذه اللعبة الجميلة وتعرُّفك على جميع الأشخاص في هذه الغرفة ومعرفة أعمارهم، ما هو  "العُمر الأكثر إحتماليّة"؟؟

بالـطبع سـتُجيبني بالـعُمر 25، فـهُنالك 5 أشخاص بهذا العمر، وبالتالي فإن العُمر الأكثر إحتماليّة (“Most probable” age) هو العُمر j الذي لديه أقصى إحتماليّة (Maximum probability P(j)).

🔸من الضروري أن يكون ناتج العُمر الأكثر إحتماليّة من ضمن الأعمار المتواجدة لديك. 

◾والآن ما هو الـعُمر الذي يتوسط جميع الأعمار؟؟

هذا ما يُعرف بالـوسيط (”Median“) أن تكون إحتماليّة الحصول على عُمر أكبر منه تساوي إحتماليّة الحصول على عُمر أصغر منه.

🔸وليس من الضروري أن يكون ناتج الوسيط من ضمن الأعمار المتواجدة لديك. 

◾بعد معرفتك كُل ما سبق، يجب عليك معرفة ما هو مُعدَّل هذه الأعمار، أي الوسط (”Mean or Average value“)، يُرمَز له بـ( j̅, j bar ) أو ⟨j⟩ ، ويساوي :

⟨j⟩ = (ΣjN(j))/N

بالعودة للعلاقة 2️⃣ (P(j)=N(j)/N)، نصل إلى:

⟨j⟩ = ΣjP(j)🔸🔸🔸4️⃣

وهذه هي القيمة المتوسطة لـj أي(Average Value of j).

🔸وليس من الضروري أن يكون ناتج المتوسط من ضمن الأعمار المتواجدة لديك.

◾في عالَم ميكانيكا الكم، نهتم كثيرًا بهذه القيمة (أقصد المتوسط) ونُسميها القيمة المتوقعة (Expectation Value)، وهي القيمة المتوقع الحصول عليها عند إجراء القياس لتجربة ما.

◾والآن، ما هو متوسط مربع هذه الأعمار؟؟

The average of the squares of these ages :

⟨j²⟩ = Σj²P(j)

🔸انتبه عزيزي القارِئ أن :

⟨j²⟩≠⟨j⟩²

◾وبالتالي فإن المتوسط لأي دالة f للمتغير j هي : 

The average of any function of j is :

⟨f(j)⟩ = Σf(j)P(j) 🔸🔸🔸5️⃣

◾بعد معرفتك كل من الصِيَغ الرياضية للعدد الكُلي للأشخاص في الغرفة وإحتماليّة حصولك على العُمر (j) وأن الإحتماليّة الكُليّة تساوي واحد والعُمر الأكثر إحتماليّة والـعُمر الذي يتوسط جميع الأعمار ومُعدَّل هذه الأعمار ((لـقِيَم منفصلة-Discrete Variables))، أترغب أيضًا بـمعرفة ما هو التباين والانحراف المعياري لهذه القِيَم المُنفصلة؟؟